已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式;(2)求证:对于区间[﹣1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f
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已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值 (1)求函数f(x)的解析式; (2)求证:对于区间[﹣1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤4;(3)若过点A(1,m)(m≠﹣2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围. |
答案
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx﹣3, 依题意,f′(1)=f′(﹣1)=0,解得a=1,b=0. ∴f(x)=x3﹣3x (2)∵f(x)=x3﹣3x, ∴f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1), 当﹣1<x<1时,f′(x)<0, 故f(x)在区间[﹣1,1]上为减函数, fmax(x)=f(﹣1)=2,fmin(x)=f(1)=﹣2 ∵对于区间[﹣1,1]上任意两个自变量的值x1,x2, 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|fmax(x)﹣fmin(x)| |f(x1)﹣f(x2)|≤|fmax(x)﹣fmin(x)| =2﹣(﹣2)=4 (3) f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1), ∵曲线方程为y=x3﹣3x, ∴点A(1,m)不在曲线上. 设切点为M(x0,y0), 切线的斜率为 (左边用导数求出,右边用斜率的两点式求出), 整理得2x03﹣3x02+m+3=0. ∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线, 故此方程有三个不同解, 下研究方程解有三个时参数所满足的条件 设g(x0)=2x03﹣3x02+m+3, 则g′(x0)=6x02﹣6x0, 由g′(x0)=0,得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在(﹣∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ∴函数g(x0)=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0,x0=1 ∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是 , 解得﹣3<m<﹣2. 故所求的实数a的取值范围是﹣3<m<﹣2. |
举一反三
设直线x=t 与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为 |
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A.1 B. C. D. |
已知函数,x=2是f(x)的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若当x∈[1,+∞)时,恒成立,求a的取值范围. |
某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格.销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件. (Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? |
某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2﹣10x3(单位:万元),成本函数C(x)=460x+5000(单位:万元) (1)求利润函数P(x);(提示:利润=产值﹣成本) (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? |
已知f(x)=ax﹣ln(﹣x),x∈(﹣e,0),,其中e是自然常数, a∈R. (1)讨论a=﹣1时,f(x)的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下,. (3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由. |
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