已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。（1）用a和n表示f（n）；（2）求对所有n都有成立

题型：高考真题难度：来源：

已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。
（1）用a和n表示f（n）；
（2）求对所有n都有成立的a的最小值；
（3）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由。

答案

解：（1）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，
∴A（）对求导得y′=-2x
∴抛物线在点A处的切线方程为，
∴
∴f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，
∴f（n）=aⁿ；
（2）由（1）知f（n）=aⁿ，则成立的充要条件是aⁿ≥2n+1
即知，aⁿ≥2n+1对所有n成立，
特别的，取n=1得到a≥3
当a=3，n≥1时，aⁿ=3ⁿ=（1+2）ⁿ≥1+=2n+1
当n=0时，aⁿ=2n+1
∴a=3时，对所有n都有成立
∴a的最小值为3；
（3）由（1）知f（k）=a^k，
下面证明：＞
首先证明：当0＜x＜1时，
设函数g（x）=6x（x²-x）+1，0＜x＜1，
则g′（x）=18x（x-）
当0＜x＜时，g′（x）＜0；
当时，g′（x）＞0
故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）_min=g（）=＞0
∴当0＜x＜1时，g（x）＞0，
∴
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此，
从而
=＞6（a+a²+…+aⁿ）
==。