(1)解:求导函数可得:f"(x)=lnx+1(x>0) 令f"(x)≥0,即lnx≥﹣1,∴x; 令f"(x)≤0,即lnx≤﹣1,∴0<x; ∴f(x)单调递增区间为[,+∞),单调递减区间为(0,] ∴f(x)min=f()=﹣ (2)解:F(x)==,求导函数可得 F"(x)= 当a≥0时,F"(x)>0,F(x)在[1,e]上单调递增,F(x)min=﹣a=, ∴a=﹣[0,+∞),舍去; 当a<0时,F(x)在(0,﹣a)单调递减,在(﹣a,+∞)单调递增 若a∈(﹣1,0),F(x)在[1,e]上单调递增,F(x)min=﹣a=, ∴a=﹣(﹣1,0),舍去; 若a∈[﹣e,﹣1],F(x)在(1,﹣a)单调递减,在(﹣a,e)单调递增, ∴F(x)min=F(﹣a)=ln(﹣a)+1=, ∴a=﹣∈[﹣e,﹣1]; 若a∈(﹣∞,﹣1),F(x)在[1,e]上单调递减, ∴F(x)min=F(e)=﹣(﹣∞,﹣1),舍去; 综上所述:a=﹣ (3)证明:由(1)可知当b>0时,有f(b)≥f(x)min=f()=﹣, ∴,即. ∴ |