已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=x2﹣2x+2,

已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=x2﹣2x+2,

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已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2﹣2x+2,若对任意x1(0,+∞),均存在x2[0,1],使得f(x1)<g(
x2),求a的取值范围.
答案
解:(Ⅰ)由已知,则f"(1)=2+1=3.
故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3;
(Ⅱ)
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f"(x)>0
所以,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,由f"(x)=0,得
在区间上,f"(x)>0,
在区间上f"(x)<0,
所以,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为
(Ⅲ)由已知,转化为f(x)max<g(x)min
由x∈[0,1],得到g(x)min=g(1)=1,
由(Ⅱ)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意.
当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,
故f(x)的极大值即为最大值,

所以1<﹣1﹣ln(﹣a),解得
举一反三
已知函数(a∈R).
(Ⅰ)当时,讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2﹣2bx+4.当时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围.
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已知函数f(x)=xlnx.
(1)求函数f(x)的单调区间和最小值;
(2)若函数F(x)=在[1,e]上是最小值为,求a的值;
(3)当b>0时,求证:(其中e=2.718 28…是自然对数的底数).
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已知函数1nx,且m>0.
(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求m的取值范围;
(Ⅱ)求函数f(x)在[1,e]的最大值和最小值.
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已知函数f(x)=ex(x2+ax﹣a),其中a是常数.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若存在实数k,使得关于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
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已知函数f(x)=2ax3﹣3x2,其中a>0.
(Ⅰ)求证:函数f(x)在区间(﹣∞,0)上是增函数;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+f′(x)(x∈[0,1])在x=0处取得最大值,求a的取值范围.
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