解:(1)因为f(1)=b,由点(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0 因为f′(x)=anxn-1-a(n+1)xn,所以f′(1)=-a. 又因为切线x+y=1的斜率为-1, 所以-a=-1,即a=1, 故a=1,b=0 。 (2)由(1)知,f(x)=xn(1-x),则有f′(x)=(n+1)xn-1(-x), 令f′(x)=0,解得x=在(0,)上,导数为正, 故函数f(x)是增函数;在(,+∞)上导数为负,故函数f(x)是减函数; 故函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为f()=()n(1-)=。 (3)令φ(t)=lnt-1+,则φ′(t)=-=(t>0) 在(0,1)上,φ′(t)<0,故φ(t)单调减; 在(1,+∞),φ′(t)>0,故φ(t)单调增; 故φ(t)在(0,∞)上的最小值为φ(1)=0, 所以φ(t)>0(t>1) 则lnt>1-,(t>1), 令t=1+,得ln(1+)>, 即ln(1+)n+1>lne 所以(1+)n+1>e, 即< 由(2)知,f(x)≤<, 故所证不等式成立。 |