已知函数(I)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对任意x1∈(0,2),总存在x2∈[1,2]使f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.

已知函数(I)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对任意x1∈(0,2),总存在x2∈[1,2]使f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.

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已知函数
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任意x1∈(0,2),总存在x2∈[1,2]使f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.
答案
解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞),  = 
由f′(x)>0得,1<x<3,
由f′(x)<0得,0<x<1或x>3,
∴函数f(x)的单调递增区间为(1,3);
单调递减区间为(0,1),(3,+∞);
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知函数f(x)在区间(0,1)上递减,在区间(1,2)上递增,
∴函数f(x)在区间(0,2)上的最小值为f(1)= 
由于“对任意x1∈(0,2),总存在x2∈[1,2]使f(x1)≥g(x2)”
等价于“g(x)在区间[1,2]上的最小值不大于f(x)在区间(0,2)上的最小值 
即g(x)min ,(*)
又g(x)=x2﹣2mx+4,x∈[1,2],
∴①当m<1时,g(x)min=g(1)=5﹣2m>0与(*)式矛盾,
②当m∈[1,2]时,g(x)min=4﹣m2≥0,与(*)式矛盾,
③当m>2时,g(x)min=g(2)=8﹣4m≤ ,解得m 
综上知,实数m的取值范围是[ ).
举一反三
已知函数f(x)=(x2﹣3x+3)·ex定义域为[﹣2,t](t>﹣2),设f(﹣2)=m,f(t)=n.
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[﹣2,t]上为单调函数;
(Ⅱ)求证:n>m;
(Ⅲ)求证:对于任意的t>﹣2,总存x0(﹣2,t),满足,并确定这样的x0的个数.
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已知f(x)=ln(x+1).
(1)若,求g(x)在[0,2]上的最大值与最小值;
(2)当x>0时,求证
(3)当n∈N+且n≥2时,求证:
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已知函数
(1)若关于x的方程x2﹣tx﹣3=0的两实数为a,b(a<b),试判断函数f(x)在区间(a,b)上的单调性,并说明理由;
(2)若函数f(x)的图象在x=﹣1处的切线斜率为,求当x>0时,f(x)的最大值.
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某园林公司计划在一块以O为圆心,R(R为常数,单位为米)为半径的半圆形(如图)地上种植花草树木,其中弓形CMDC区域用于观赏样板地,△OCD区域用于种植花木出售,其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元,花木的利润是每平方米8元,草皮的利润是每平方米3元.
(1)设∠COD=θ(单位:弧度),用θ表示弓形CMDC的面积S=f(θ);
(2)园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?并求相对应的θ.(参考公式:扇形面积公式,l表示扇形的弧长)
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已知f(x)是定义在[﹣e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+2lnx,(a<0,a∈R)
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数a,使得当x∈[﹣e,0)时,f(x)的最小值是4?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.
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