已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为

已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为

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已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数在区间(t,3)上总存在极值?
(Ⅲ)当a=2时,设函数,若在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)>f(x0)成立,试求实数p的取值范围.
答案
解:(Ⅰ)当a=1时,函数f(x)=alnx﹣ax﹣3=lnx﹣x﹣3;导函数为
当0<x<1时,函数f(x)单调递增,
当时x>1时,函数f(x)单调递减;
故减区间为(1,+∞),增区间为(0,1);
(Ⅱ)由(1,+∞),故g(x)=x2-2x,
g"(x)=3x2+(4+m)x-2,
∵g(x)在区间(t,3)上总存在极值,

解得
所以当m在内取值时,对于任意的t∈[{1,2}],
函数在区间(t,3)上总存在极值.
(Ⅲ)∴
①当p≤0时,由x∈[1,e]得px﹣≤0,﹣﹣2lnx<0.
所以,在[1,e]上不存在x0,使得h(x0)>f(x0)成立;
②当p>0时,F"(x)=,∵x∈[1,e],
∴2e﹣2x≥0,px2+p>0,F"(x)>0在[1,e]上恒成立,
故F(x)在[1,e]上单调递增.

故只要,,解得
所以p的取值范围是
举一反三
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(I)求a的值
(II)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400km的水果批发市场.据测算,J型卡车满载行驶时,每100km所消耗的燃油量u(单位:L)与速度v(单位:km/h)的关系近似地满足u=除燃油费外,人工工资、车损等其他费用平均每小时300元.已知燃油价格为每升(L)7.5元.
(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用),将y表示成速度v的函数关系式;(2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?
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已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax﹣3),其中a为常数.
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间(﹣1,0)上是增函数,求a的取值范围;
(3)若函数g(x)=f(x)+f"(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
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已知函数,其中a是大于0的常数。
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值;
(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围。
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如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即OB)为2m,在圆环上设置三个等分点A1,A2,A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B),同时点C与点A1,A2,A3,B均用细绳相连接,且细绳CA1,CA2,CA3的长度相等.设细绳的总长为ym.
(1)设∠CA1O=θ(rad),将y表示成θ的函数关系式;
(2)请你设计θ,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y最小,并指明此时 BC应为多长.
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