已知函数f(x)=log2(ax2+2x﹣3a).(Ⅰ)当a=﹣1时,求该函数的定义域和值域;(Ⅱ)如果f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立,求实数a的取值范围
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已知函数f(x)=log2(ax2+2x﹣3a). (Ⅰ)当a=﹣1时,求该函数的定义域和值域; (Ⅱ)如果f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
解:(1)当a=﹣1时,f(x)=log2(ax2+2x﹣3a). 令﹣x2+2x+3>0,解得﹣1<x<3 所以函数f(x)的定义域为(﹣1,3). 令t=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,则0<t≤4 所以f(x)=log2t≤log24=2 因此函数f(x)的值域为(﹣∞,2] (2)f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立等价于ax2+2x﹣3a﹣2≥0在区间[2,3]上恒成立 由ax2+2x﹣3a﹣2≥0且x∈[2,3]时,x2﹣3>0,得 令,则h"(x)= 所以h(x)在区间[2,3]上是增函数, 所以h(x)max=h(3)=﹣ 因此a的取值范围是[﹣,+∞). |
举一反三
已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R). (Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数在区间(t,3)上总存在极值? (Ⅲ)当a=2时,设函数,若在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)>f(x0)成立,试求实数p的取值范围. |
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (I)求a的值 (II)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. |
经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400km的水果批发市场.据测算,J型卡车满载行驶时,每100km所消耗的燃油量u(单位:L)与速度v(单位:km/h)的关系近似地满足u=除燃油费外,人工工资、车损等其他费用平均每小时300元.已知燃油价格为每升(L)7.5元. (1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用),将y表示成速度v的函数关系式;(2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少? |
已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax﹣3),其中a为常数. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值; (2)若函数f(x)在区间(﹣1,0)上是增函数,求a的取值范围; (3)若函数g(x)=f(x)+f"(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围. |
已知函数,其中a是大于0的常数。 (1)求函数f(x)的定义域; (2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围。 |
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