已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率为k=f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数F（x）=x﹣f（x

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已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率为k=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数F（x）=x﹣f（x）的最小值．

答案

解：（Ⅰ）k=f（x）=

（x＞0），
求导函数可得f′（x）=

令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；
令f′（x）＜0，可得x＞e
∴f（x）在（0，e）单调递增，（e，+∞）单调递减．
（Ⅱ）F（x）=x﹣

，求导函数可得F′（x）=

设h（x）=x²﹣1+lnx，求导函数可得

∴h（x）在（0，+∞）为单调递增函数．
∵h（1）=0，∴F"（1）=0，除了1之外，F（x）无其他零点，
∴当x=1时，F（1）=1为最小值．

举一反三

已知函数

．
（I）若f（x）在

处取极值，
①求a、b的值；
②存在

，使得不等式f（x₀）﹣c≤0成立，求c的最小值；
（II）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．
（参考数据e^2_≈7.389，e^3_≈20.08）

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已知函数f（x）=log₂（ax²+2x﹣3a）．
（Ⅰ）当a=﹣1时，求该函数的定义域和值域；
（Ⅱ）如果f（x）≥1在区间[2，3]上恒成立，求实数a的取值范围．

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已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数

在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数

，若在区间[1，e]上至少存在一个x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，试求实数p的取值范围．

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某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式

，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（I）求a的值
（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

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经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=

除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．
（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

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已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率为k=f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）求函数F（x）=x﹣f（x