设a为实数,函数f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当a>ln2﹣1且x>0时,ex>x2﹣2ax+1.
题型:山东省期末题难度:来源:
设a为实数,函数f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当a>ln2﹣1且x>0时,ex>x2﹣2ax+1. |
答案
(1)解:∵f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R, ∴f′(x)=ex﹣2,x∈R. 令f′(x)=0,得x=ln2. 于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
故f(x)的单调递减区间是(﹣∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞), f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2﹣2ln2+2a=2(1﹣ln2+a). (2)证明:设g(x)=ex﹣x2+2ax﹣1,x∈R,于是g′(x)=ex﹣2x+2a,x∈R. 由(1)知当a>ln2﹣1时, g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1﹣ln2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增. 于是当a>ln2﹣1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0). 而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.即ex﹣x2+2ax﹣1>0, 故ex>x2﹣2ax+1. |
举一反三
已知函数f(x)=ln(ex+k)(k为常数)是实数集R上的奇函数 (1)求k的值 (2)若函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[﹣1,1]上的减函数,且g(x)≤t2+λt+1在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求t的取值范围 (3)讨论关于x的方程的根的个数. |
工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件)间的关系为(c为常数,且0<c<6),已知每生产1件合格产品盈利3元,每出现1件次品亏损1.5元. (1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数; (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=) |
已知f(x)=lnx+x2﹣bx. (1)若函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围; (2)当b=﹣1时,设g(x)=f(x)﹣2x2,求证函数g(x)只有一个零点. |
已知函数f(x)=x3﹣ax2+(a2﹣1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y﹣3=0. (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)在区间[﹣2,4]上的最大值. |
已知函数f(x)=[3ln(x+2)﹣ln(x﹣2)] (I) 求x为何值时,f(x)在[3,7]上取得最大值; (Ⅱ)设F(x)=aln(x﹣1)﹣f(x),若F(x)是单调递增函数,求a的取值范围. |
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