已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x

题型：山东省期末题难度：来源：

已知函数f（x）=x³﹣ax²+（a²﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．

答案

解：（1）f′（x）=x²﹣2ax+a²﹣1，
∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=﹣a+a²﹣1+b，
又f′（1）=﹣1，
∴a²﹣2a+1=0，
解得a=1，b=．
（2）∵f（x）=x³﹣x²+，
∴f′（x）=x²﹣2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有

所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
∵f（0）=，f（2）=，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8，
∴在区间[﹣2，4]上的最大值为8