济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研。据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比
题型:山东省模拟题难度:来源:
济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研。据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为k(k>0)。现已知相距36km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和。设AC=x(km), (Ⅰ)试将y表示为x的函数; (Ⅱ)若a=1时,y在x=6处取得最小值,试求b的值。 |
答案
解:(Ⅰ)设点C受A污染源污染指数为,点C受B污染源污染指数为,其中k为比例系数,且k>0, 从而点C处污染指数。 (Ⅱ)因为a=1,所以,, y′=, 令y′=0,得, 当x∈时,函数单调递减;当x∈时,函数单调递增, ∴当时,函数取得最小值, 又此时x=6,解得b=25,经验证符合题意; 所以,污染源B的污染强度b的值为25。 |
举一反三
已知函数f(x)=alnx+x2,g(x)=(a+1)x-4, (Ⅰ)当a=-2时,求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)是否存在实数a(a>1),使得对任意的x∈,恒有f(x)<g(x)成立?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由。 注:e为自然对数的底数 |
已知关于n的不等式2n2-n-3<(5-λ)(n+1)2n对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是( )。 |
已知函数, (Ⅰ)求f(x)的极值; (Ⅱ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间上有公共点,求实数a的取值范围; (Ⅲ)设各项为正的数列{an}满足:a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*,求证:an≤2n-1。 |
已知函数f(x)=x3+px2+9qx+p+q+3(x∈R)的图像关于原点对称,其中p,q是常实数。 (Ⅰ)求p,q的值; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[-1,4]上的最值。 |
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