已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1。 (1)若xf"(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (2)证明:(x-1)f(x)≥0。
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已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1。 (1)若xf"(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (2)证明:(x-1)f(x)≥0。 |
答案
解:(1) xf"(x)=xlnx+1,题设xf"(x)≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a 令g(x)=lnx-x,则 当0<x<1时,g"(x)>0;当x≥1时,g"(x)≤0,x=1是g(x)的最大值点,g(x)≤g(1)=-1 综上,a的取值范围是[-1,+∞); (2)由(1)知,g(x)≤g(1)=-1,即lnx-x+1≤0 当0<x<1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1= xlnx+(lnx-x+1)≤0; 当x≥1时,f(x)=lnx+(xlnx-x+1)
所以(x-1)f(x)≥0。 |
举一反三
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