解:(Ⅰ)当x<1时,, 依题意,得,即, 解得b=c=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,, ①当-1≤x<1时,, 令f′(x)=0得x=0或, x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
又, ∴f(x)在[-1,1)上的最大值为2; ②当1≤x≤2时,f(x)=alnx, 当a≤0时,f(x)≤0; 当a>0时,f(x)在[1,2]上单调递增, ∴f(x)在[1,2]的最大值为aln2; 综上所述,当aln2≤2,即时,f(x)在[-1,2]上的最大值为2; 当aln2>2,即时,f(x)在[-1,2]上的最大值为aln2。 (Ⅲ)假设曲线y=f(x)上存在两点P,Q满足题设要求,则点P,Q只能在y轴的两侧, 不妨设P(t,f(t))(t>0),则,显然t≠1, ∵△POQ为直角三角形, ∴,即,① 是否存在P,Q等价于方程①是否有解, 若0<t<1,则f(t)=-t3+t2,代入①式得,-t2+(-t3+t2)(t3+t2)=0, 即t4-t2+1=0,而此方程无实数解,因此t>1, ∴f(t)=alnt,代入①式得,-t2+(alnt)(t3+t2)=0,即=(t+1)lnt,(*) 考察函数h(x)=(x+1)lnx(x≥1),则h′(x)=lnx++1>0, ∴h(x)在[1,+∞)上单调递增, ∵t>1, ∴h(t)>h(1)=0,当t→+∞时,h(t)→+∞, ∴h(t)的取值范围为(0,+∞), ∴对于a>0,方程(*)总有解,即方程①总有解, 因此对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上总存在两点P,Q使得△POQ是以点O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上。 |