已知函数的图象过坐标原点O,且在点(-1,f(-1))处的切线的斜率是-5.(Ⅰ)求实数b,c的值;(Ⅱ)求f(x)在区间[-1,2]上的最大值;(Ⅲ)对任意给

已知函数的图象过坐标原点O,且在点(-1,f(-1))处的切线的斜率是-5.(Ⅰ)求实数b,c的值;(Ⅱ)求f(x)在区间[-1,2]上的最大值;(Ⅲ)对任意给

题型:福建省模拟题难度:来源:
已知函数的图象过坐标原点O,且在点(-1,f(-1))处的切线的斜率是-5.
(Ⅰ)求实数b,c的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-1,2]上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?说明理由.
答案
解:(Ⅰ)当x<1时,
依题意,得,即
解得b=c=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①当-1≤x<1时,
令f′(x)=0得x=0或
x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:


∴f(x)在[-1,1)上的最大值为2; 
②当1≤x≤2时,f(x)=alnx,
当a≤0时,f(x)≤0;
当a>0时,f(x)在[1,2]上单调递增,
∴f(x)在[1,2]的最大值为aln2;
综上所述,当aln2≤2,即时,f(x)在[-1,2]上的最大值为2;
当aln2>2,即时,f(x)在[-1,2]上的最大值为aln2。
(Ⅲ)假设曲线y=f(x)上存在两点P,Q满足题设要求,则点P,Q只能在y轴的两侧,
不妨设P(t,f(t))(t>0),则,显然t≠1,
∵△POQ为直角三角形,
,即,①
是否存在P,Q等价于方程①是否有解,
若0<t<1,则f(t)=-t3+t2,代入①式得,-t2+(-t3+t2)(t3+t2)=0,
即t4-t2+1=0,而此方程无实数解,因此t>1,
∴f(t)=alnt,代入①式得,-t2+(alnt)(t3+t2)=0,即=(t+1)lnt,(*) 
考察函数h(x)=(x+1)lnx(x≥1),则h′(x)=lnx++1>0,
∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,
∵t>1,
∴h(t)>h(1)=0,当t→+∞时,h(t)→+∞,
∴h(t)的取值范围为(0,+∞),
∴对于a>0,方程(*)总有解,即方程①总有解,
因此对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上总存在两点P,Q使得△POQ是以点O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上。
举一反三
已知函数f(x)=xlnx,
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数;
(Ⅲ)当a>0,b>0时,求证:f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2。
题型:福建省模拟题难度:| 查看答案
已知f(x)是二次函数,f′(x)是它的导函数,且对任意的x∈R,f′(x)=f(x+1)+x2恒成立.
(Ⅰ)求f(x)的解析表达式;
(Ⅱ)设t>0,曲线C:y=f(x)在点P(t,f(t))处的切线为l,l与坐标轴围成的三角形面积为S(t),求S(t)的最小值.
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为

[     ]

A.13万件
B.11万件
C.9万件
D.7万件
题型:山东省高考真题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R)。
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。
题型:0112 期末题难度:| 查看答案
已知M是函数y=4-x2(0<x<2)图像C上一点,过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A、B,O是坐标原点,求△AOB面积的最小值。
题型:期末题难度:| 查看答案
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