解:(1)当a=0时,,∴f(3)=1,
∵,曲线在点(3,1)处的切线的斜率,
∴所求的切线方程为y-1=3(x-3),即y=3x-8。
(2)当a=-1时,函数,
∵,令f′(x)=0得,,
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,即函数y=f(x)在(0,1)上单调递减,
当x∈(1,4)时,f′(x)>0,即函数y=f(x)在(1,4)上单调递增,
∴函数y=f(x)在[0,4]上有最小值,;
又,
∴当a=-1时,函数y=f(x)在[0,4]上的最大值和最小值分别为。
(3)∵,
∴,
①当时,3a=a+2,解得a=1,这时,
函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点,故a=1为所求;
②当时,即,这时,
又函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点,
∴;
③当时,即a<1,这时,
又函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点,
∴,
综上得当函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点时,或或a=1。
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