两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外,以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度

两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外,以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度

题型:湖南省模拟题难度:来源:
两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外,以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065,
(Ⅰ)将y表示成x的函数;
(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.

答案
解:(Ⅰ)如图,由题意知,AC⊥BC,BC2=400-x2, 

其中当时,y=0.065,所以,k=9,
所以,y表示成x的函数为
 (Ⅱ)
 
令y′=0得,所以,,即x=
当0<x<时,,即y′<0,所以,此时函数为单调减函数;
<x<20时,,即y′>0,所以,此时函数为单调增函数,
所以,当x=时,即当C点到城A的距离为时,
函数有最小值。
举一反三
某电视生产厂家有A,B两种型号的电视机参加家电下乡活动。若厂家投放A,B型号电视机的价值分别为p,q万元,农民购买电视机获得相应的补贴分别为p,mln(q+1)(m>0)万元。已知厂家把总价值为10万元的A,B两种型号电视机投放市场,且A,B两型号的电视机投放金额都不低于1万元(精确到0.1,参考数据:ln4=1.4).
(Ⅰ)当m=时,请你制定一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多,并求出其最大值;
(Ⅱ)讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况。
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已知函数的图象过坐标原点O,且在点(-1,f(-1))处的切线的斜率是-5.
(Ⅰ)求实数b,c的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-1,2]上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?说明理由.
题型:福建省模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=xlnx,
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数;
(Ⅲ)当a>0,b>0时,求证:f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2。
题型:福建省模拟题难度:| 查看答案
已知f(x)是二次函数,f′(x)是它的导函数,且对任意的x∈R,f′(x)=f(x+1)+x2恒成立.
(Ⅰ)求f(x)的解析表达式;
(Ⅱ)设t>0,曲线C:y=f(x)在点P(t,f(t))处的切线为l,l与坐标轴围成的三角形面积为S(t),求S(t)的最小值.
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为

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A.13万件
B.11万件
C.9万件
D.7万件
题型:山东省高考真题难度:| 查看答案
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