本试题以圆锥曲线为背景,结合了定积分的几何意义,表示曲边梯形的面积的,以及直线与抛物线相切的相关知识的综合愚弄。 (1)利用建立直角坐标系,然后设出方程和点的坐标,结合定积分的几何意义表示出面积。 (2)分析为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,则需要结合导数的几何意义来表示得到切线方程,从而表示梯形面积,求解得到最值。 解:(1)建立如图的坐标系,设抛物线的方程为,由已知在抛物线上,得,∴抛物线的方程为,令,得,即水面宽为8()。 ∴水渠横断面过水面积为 (2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,如图,
设切点,则函数在点的切线方程为 令,得; ∴此时梯形OABC的面积为 ∵, 当且仅当时,等号成立,此时 ∴设计改挖后的水渠的底宽为时,可使所挖土的土方量最少。 |