由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为(  )A.23B.13C.12D.14

由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为(  )A.23B.13C.12D.14

题型:不详难度:来源:
由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为(  )
A.
2
3
B.
1
3
C.
1
2
D.
1
4

答案
由题意及图象,曲线y=x2和直线y=t2交点坐标是(t,t2
故阴影部分的面积是∫0t(t2-x2)dx+∫t1(-t2+x2)dx=(t2x-
1
3
x3)|0t+(-t2x+
1
3
x3)|t1=
4
3
t3-t2+
1
3

令p=
4
3
t3-t2+
1
3
,则p′=4t2-2t=2t(2t-1),知p=
4
3
t3-t2+
1
3
在(0,1)先减后增,在t=
1
2
时取到最小值,
故面积的最小值是
4
3
×(
1
2
)
3
-(
1
2
)
2
+
1
3
=
1
4

故选D
举一反三
a1
(2x+
1
x
)dx=3+ln2(a>1)
,则a的值是(  )
A.2B.3C.4D.6
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设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则
21
f(-x)dx的值等于(  )
A.
5
6
B.
1
2
C.
2
3
D.
1
6
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e1
1
x
dx的取值为(  )
A.1B.
1
e
-1
C.1-
1
e2
D.e
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