某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿正东
题型:同步题难度:来源:
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 |
答案
解:(1)要使相遇时小艇的航行距离最小,小艇应沿正北方向航行 如图,AC=AO·sin30°=10,OC=AO·cos30°=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233250-47704.gif) 由30t=10及![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233250-88642.gif) 得t= ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233251-88565.gif) 即小艇航行速度应为 (海里/小时); | ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233251-31054.gif) |
(2)由(1)得OC=10,AC=10 故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP≥OC>AC 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,故轮船与小艇不可能在A、C(包含C)的任意位置相遇 设∠COD=θ(0°<θ<90°), 则在Rt△COD中,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233251-21024.gif) 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为t= 和t=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233252-43450.gif) 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233252-99132.gif) 解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233252-51217.gif) 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233252-40883.gif) 故![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233253-40803.gif) 从而30°≤θ<90°,由于θ=30°时,tanθ取得最小值,且最小值为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233253-45142.gif) 于是当θ=30°时, 取得最小值,且最小值为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019233253-25980.gif) 此时,在△OAB中,OA=OB=AB=20 故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。 | |
举一反三
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