已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量p=(cosB，-sinB)，q=(cosC，sinC)，且(q-2p)⊥q．（1）求∠A的大小；（2）若BC=23， 

题型：卢湾区一模难度：来源：

已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量

p

=(cosB，-sinB)，

q

=(cosC，sinC)，且(

q

-2

p

)⊥

q

．
（1）求∠A的大小；
（2）若BC=2

3

， AC+AB=4，求△ABC的面积．

答案

（1）由(

q

-2

p

)⊥

q

，可得(

q

-2

p

)•

q

=0，（2分）
即|

q

|2-2

p

•

q

=0，又

p

=(cosB，-sinB)，

q

=(cosC，sinC)
所以cos²C+sin²C-2（cosBcosC-sinBsinC）=0，
即cos(B+C)=

1

2

，又0＜B+C＜π，（6分）
∴B+C=

π

3

，
故A=π-(B+C)=

2π

3

．　（8分）
（2）在△ABC中，由BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA，
可得BC²=（AB+AC）²-2AB•AC（1+cosA），（10分）
即(2

3

)2=42-2AB•AC•(1-

1

2

)，
故AB•AC=4，（12分）
∴S=

1

2

AB•ACsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

．（14分）