求所有的素数对（p，q），使得．

题型：不详难度：来源：

求所有的素数对（p，q），使得．

答案

见解析

解析

若，不妨设，则，故．
由Fermat小定理，，得，即．易验证素数对不合要求，，合乎要求．       
若为奇数且，不妨设，则，故．
当时素数对合乎要求，当时，由Fermat小定理有，故．由于为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以．经检验素数对合乎要求．
若都不等于2和5，则有，故
．                ①
由Fermat小定理，得        ，                ②
故由①，②得
．                 ③
设，，其中为正整数．
若，则由②，③易知
，
这与矛盾！所以．       
同理有，矛盾！即此时不存在合乎要求的．
综上所述，所有满足题目要求的素数对为
，，，，，及．