已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n,(其中n∈N*)(1)求a0及Sn=a1+a2+a3+…+an
题型:镇江一模难度:来源:
已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n,(其中n∈N*) (1)求a0及Sn=a1+a2+a3+…+an; (2)试比较Sn与(n-2)2n+2n2的大小,并说明理由. |
答案
(1)取x=1,则a0=2n; 取x=2,则a0+a1+a2+a3++an=3n, ∴Sn=a1+a2+a3++an=3n-2n; (2)要比较Sn与(n-2)2n+2n2的大小, 即比较:3n与(n-1)2n+2n2的大小, 当n=1时,3n>(n-1)2n+2n2; 当n=2,3时,3n<(n-1)2n+2n2; 当n=4,5时,3n>(n-1)2n+2n2;( 猜想:当n≥4时,3n>(n-1)2n+2n2, 下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知,n=4时结论成立, 假设当n=k,(k≥4)时结论成立,即3k>(k-1)2k+2k2, 两边同乘以3得:3k+1>3[(k-1)2k+2k2]=k2k+1+2(k+1)2+[(k-3)2k+4k2-4k-2] 而(k-3)2k+4k2-4k-2=(k-3)2k+4(k2-k-2)+6=(k-3)2k+4(k-2)(k+1)+6>0 ∴3k+1>((k+1)-1)2k+1+2(k+1)2 即n=k+1时结论也成立, ∴当n≥4时,3n>(n-1)2n+2n2成立. 综上得, 当n=1时,Sn>(n-2)2n+2n2; 当n=2,3时,Sn<(n-2)2n+2n2; 当n≥4,n∈N*时,Sn>(n-2)2n+2n2 |
举一反三
在(2x2-1)(1+)4的展开式中,常数项为______. |
在(1+)2-(1+)4的展开式中,x的系数等于______.(用数字作答) |
(1)已知(x+)n展开式中前3项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项和一次项?如果没有,请说明理由;如有,请求出来. (2)设an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*,q≠±1),An=a1+a2+…+an ①用q和n表示An; ②求证:当q充分接近于1时,充分接近于. |
若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80,则实数a的值是______. |
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