已知f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n(1)求a2的值;(2)
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已知f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n (1)求a2的值; (2)求a1+a2+a3+…+an的值; (3)求f(20)-20除以6的余数. |
答案
(1)根据题意,f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为512, 则2n=512,解可得n=9; (2x-3)9=[2(x-1)-1]9,则a2=C9722(-1)7=-144, (2)在(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n中, 令x=1,可得a0=(2×1-3)9=-1, 令x=2,可得a0+a1+a2+a3+…+an=(2×2-3)9=1, 则a1+a2+a3+…+an=a0+a1+a2+a3+…+an-a0=1-(-1)=2; (3)f(20)-20=379-20=(36+1)9-20=C90369+C91368+C92367+…+C9836+C99-20 =C90369+C91368+C92367+…+C9836-19; 因为(C90369+C91368+C92367+…+C9836)能被6整除,而-19=(-4)×6+5,即-19被6整除后余数为5; 则f(20)-20除以6的余数为5. |
举一反三
已知函数f(x)=-x3+2f′(2)x,n=f′(2),则二项式(x+)n展开式中常数项是( ) |
如果(3x2-) n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为( ) |
已知(2x+1)3的展开式中,二项式系数和为a,各项系数和为b,则a+b=______.(用数字表示) |
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