本试题主要考查了立体几何中的线线的垂直的证明,以及二面角的求解问题,线面角的求解的综合运用。 (1)利用线面垂直的性质定理得到证明。 (2)合理的建立空间直角坐标系,表示平面的法向量,借助于向量的数量积的性质定理,表示法向量的夹角,得到二面角的平面角的大小。 (3)对于探索性问题,可以假设存在,然后在此基础上,我们进一步分析斜向量和平面的法向量,利用线面角的大小求解得到。 解: (1)方法一:作面于,连
又,则是正方形. 则 方法二:取的中点,连、, 则有
(2)作于,作交于, 则就是二面角的平面角. 是的中点,且∥ 则 由余弦定理得 (3)设为所求的点,作于,连.则∥ 就是与面所成的角,则. 设,易得 解得 故线段上存在点,且时,与面成角. 解法二: (1)作面于,连、、,则四边形是正方形,且, 以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,
则 (2)设平面的法向量为则由知:; 同理由知:可取同理,可求得平面的一个法向量为由图可以看出,二面角的大小应等于<> 则<>,即所求二面角的大小是. (3)设是线段上一点,则 平面的一个法向量为 要使与面成角,由图可知与的夹角为, 所以 则,解得,,则 故线段上存在点,且,时与面成角. |