如图所示,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2
题型:不详难度:来源:
如图所示,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2. (1)建立适当的坐标系,并写出点B,P的坐标; (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值; (3)若PB的中点为M,求证:平面AMC⊥平面PBC. |
答案
(1)如图所示,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz. ∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2, ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0), 由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角, ∴∠PAD=60°. 在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2, ∴P(0,0,2). (2)∵=(2,0,-2), =(-2,-3,0), ∴cos<,>= =-, 所以PA与BC所成角的余弦值为 (3)证明:∵M为PB的中点, ∴点M的坐标为(1,2,), ∴=(-1,2,),=(1,1,), =(2,4,-2), ∵·=(-1)×2+2×4+×(-2)=0, ·=1×2+1×4+×(-2)=0, ∴⊥,⊥,∴PB⊥平面AMC ∵PB⊂平面PBC ∴平面AMC⊥平面PBC . |
解析
略 |
举一反三
(本小题满分14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,E是PB上任意一点。
(1)求证:AC⊥DE; (2)若PB与平面ABCD所成角为450,E是PB上的中点。 求三棱锥P-AED的体积. |
(本小题满分14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BE∥平面PDF; (2)求证:平面PDF⊥平面PAB; (3)求三棱锥P-DEF的体积. |
给出下列命题: ①若平面α内的直线l垂直于平面β内的任意直线,则α⊥β; ②若平面α内的任一直线都平行于平面β,则α∥β; ③若平面α垂直于平面β,直线l在平面α内,则l⊥β; ④若平面α平行于平面β,直线l在平面α内,则l∥β. 其中正确命题的个数是( ) |
已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为( ) |
a、b是两条异面直线,A是不在a、b上的点,则下列结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a、b | B.过A至少有一个平面平行于a、b | C.过A有无数个平面平行于a、b | D.过A且平行a、b的平面可能不存在 |
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