解:(1)证明:∵AB是直径 ∴∠ACB = 90°,即BC⊥AC ∴PA⊥BC ∴BC⊥平面PAC 又BC平面PBC ∴平面PBC⊥平面PAC (2)∵PA⊥平面ABC ∴直线PC与平面ABC所成角即∠PCA 设AC = 1,∵∠ABC = 30°∴PA = AB = 2 ∴tan∠PCA == 2 (3) 在平面PAC中作AD⊥PC于D,在平面PAB中作AE⊥PB于连结DE ∵平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC = PC,AD⊥PC ∴AD⊥平面PBC ∴AD⊥PB 又∵PB⊥AE ∴PB⊥面AED ∴PB⊥ED ∴∠DEA即为二面角A—PB—C的平面角 在直角三角形PAC中和直角三角形PAB中, 分别由等面积方法求得 AD = AE = ∴在直角三角形ADE中可求得:sin∠DEA = 即二面角A—PB—C的正弦值为. |