正△的边长为4,是边上的高,分别是和边的中点,现将△沿翻折成直二面角.(1)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;(2)求二面角的余弦值;    (3)在线段

正△的边长为4,是边上的高,分别是和边的中点,现将△沿翻折成直二面角.(1)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;(2)求二面角的余弦值;    (3)在线段

题型:不详难度:来源:
正△的边长为4,边上的高,分别是边的中点,现将△沿翻折成直二面角
(1)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角的余弦值;



 


 
  (3)在线段上是否存在一点,使?证明你的结论. 
 
答案

解:法一:(I)如图:在△ABC中,由EF分别是ACBC中点,得EF//AB
AB平面DEFEF平面DEF.        ∴AB∥平面DEF.   
(II)∵ADCDBDCD  
 ∴∠ADB是二面角ACDB的平面角
ADBD   ∴AD⊥平面BCD
CD的中点M,这时EMAD   ∴EM⊥平面BCD
MMNDF于点N,连结EN,则ENDF
∴∠MNE是二面角EDFC的平面角…………6
在Rt△EMN中,EM=1,MN=
∴tan∠MNE=,cos∠MNE=   ………………………8分
(Ⅲ)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE……………………10分
证明如下:在线段BC上取点P。使,过P作PQ⊥CD与点Q,
∴PQ⊥平面ACD      ∵在等边△ADE中,∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………13分
法二:(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,……4分
平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为
 即
所以二面角E—DF—C的余弦值为 …8分
(Ⅲ)在平面坐标系xDy中,直线BC的方程为


…………………12分
所以在线段BC上存在点P,使AP⊥DE       …………………………13分
另解:设
       …………………………12分


∴在线段BC上存在点P使AP⊥DE                  …………….13分  
解析

举一反三
(12分).若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标,求:

(1)点P在直线上的概率;
(2)点P在圆外的概率.
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(14分)如图,直四棱柱中,底面的菱形,,点在棱上,点是棱的中点.
(1)若的中点,求证:
(2)求出的长度,使得为直二面角.
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((本小题满分12分)
在边长为5的菱形ABCD中,AC=8。现沿对角线BD把△ABD折起,折起后使∠ADC的余弦值为
(I)求证:平面ABD⊥平面CBD;
(II)若M是AB的中点,求折起后AC与平面MCD所成角的一个三角函数值.
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一球的表面积与它的体积的数量相等,则球的半径为___________________
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(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P - ABCD中,ΔPCD为等边三角形,四边形ABCD为矩形,平面PDC丄平面ABCD,M,N、E分别是AB,PD,PC的中点,AB =2AD.

(I)求证DE丄MN;
(II)求二面角B-PA-D的余弦值.
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