（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是一个边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值。

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）
如图，四棱锥

的底面

是一个边长为4的正方形，侧面

是正三角形，侧面

底面

，
（Ⅰ）求四棱锥

的体积；
（Ⅱ）求直线

与平面

所成的角的正弦值。

答案

21.(12分) 解:（Ⅰ）设

的中点为

,连接

所以

是棱锥

的高, 易知

所以

（Ⅱ）解法一(几何法)
取

的中点

,连接

过

作

于

点，
因为

平面

，

平面

，所以

．又

于

点，
所以

平面

在

中，

，
所以

因为

,所以

点到面

的距离相等
设直线

与平面

所成的角为

，则

．
所以直线

与平面

所成的角的正弦值为

解法二(向量法)
如图, 取

的中点

,连接

以

分别为

轴建立空间直角坐标系

则

所以

设平面

的法向量为

,则

即

设直线

与平面

所成的角为

,则

解析

略

举一反三

（本小题满分13分）
如图PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点.
（1）求证：AF//平面PCE；
（2）若PA=AD且AD=2，CD=3，求P—CE—A的正切值.

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（本小题满分12分）
如图，在边长为a的正方体

中，M、N、P、Q分别为AD、CD、、的中点．
（1）求点P到平面MNQ的距离；
（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

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已知点O为正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁底面ABCD的中心，则下列结论正确的是（）

A．直线平面AB₁C₁	B．直线OA₁//直线BD₁
C．直线直线AD	D．直线OA₁//平面CB₁D₁

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．设地球半径为R，如果A、B两点在北伟

30°的纬线上，它们的经度差为

，则A、B两点的球面距离为（）
A．

B．

C．

D．

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（本小题共12分）
在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁=1，AB=2，AC=1，

，D为BC的中点。

（I）求证：平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B；
（II）求直线DA₁与平面BCC₁B₁所成角的大小；
（III）求二面角A—DC

₁—C的大小。

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