(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:连接,设与相交于点,连接, ∵ 四边形是平行四边形, ∴点为的中点. ∵为的中点, ∴为△的中位线, ∴ . …… 2分 ∵平面,平面, ∴平面. …… 4分 (2)解: 依题意知,, ∵平面,平面, ∴ 平面平面,且平面平面. 作,垂足为,则平面, ……6分 设, 在Rt△中,,, ∴四棱锥的体积 . …… 8分 依题意得,,即. …… 9分 (以下求二面角的正切值提供两种解法) 解法1:∵,平面,平面, ∴平面. 取的中点,连接,则,且. ∴平面. 作,垂足为,连接, 由于,且, ∴平面. ∵平面, ∴. ∴为二面角的平面角. …… 12分 由Rt△~Rt△,得, 得, 在Rt△中, . ∴二面角的正切值为. …… 14分 解法2: ∵,平面,平面, ∴平面. 以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴, 轴和轴,建立空间直角坐标系. 则,,,. ∴, 设平面的法向量为, 由及,得 令,得. 故平面的一个法向量为, …… 11分 又平面的一个法向量为, ∴,. …… 12分 ∴,. …… 13分 ∴,. ∴二面角的正切值为. …… 14分 |