(Ⅰ)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014238-78607.gif) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014238-69199.gif) ∴ AC⊥BC, …………………2分 又 AC⊥ ,且![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014239-37745.gif) ∴ AC⊥平面BCC1,又 平面BCC1 ……………………………………4分 ∴ AC⊥BC1 ………………………………………………………………5分 (Ⅱ)解法一:取 中点 ,过 作 于 ,连接 …………6分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014238-78607.gif) 是 中点, ∴ ,又 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014241-59052.gif) ∴ 平面 , 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014238-78607.gif) 平面 , 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014241-59052.gif) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014242-72254.gif) ∴ 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014238-78607.gif) 且![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014242-45674.gif) ∴ 平面 , 平面 ………8分 ∴ 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014238-78607.gif) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014240-96345.gif) ∴ 是二面角 的平面角 ……………………………………10分
AC=3,BC=4,AA1=4, ∴在 中, , ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014244-67958.gif) ∴ …………………………………………11分 ∴二面角 的正切值为 …………………………………………12分 解法二:以 分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分
AC=3,BC=4,AA1=4, ∴ , , , , ∴ ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021014246-47407.gif) 平面 的法向量 , …………………8分 设平面 的法向量 , 则 , 的夹角(或其补角)的大小就是二面角 的大小 …………9分 则由 令 ,则 , ∴ ………………10分
……………11分 ∵二面角 是锐二 面角 ∴二面角 的余弦值为 ………………………… 12分 |