如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；（Ⅲ）求

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如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.

答案

(1)略
(2)q = 45⁰
(3)

解析

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴ 故平面PCD的法向量可取为                              
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.             
设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得，∴q = 45⁰ .                                                      
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，
则，即，∴x=y=z，
故平面PBD的法向量可取为.                             
∵，∴C到面PBD的距离为