(本小题满分12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1 D1. 过EH的平面与
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(本小题满分12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1 D1. 过EH的平面与
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
如图,在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,H分别是棱A
1
B
1
,D
1
C
1
上的点(点E与B
1
不重合),且EH∥A
1
D
1
. 过EH的平面与棱BB
1
,CC
1
相交,交点分别为F,G。
(I) 证明:AD∥平面EFGH;
(II) 设AB=2AA
1
="2" a .在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
内随机选取一点。记该点取自几何体A
1
ABFE-D
1
DCGH内的概率为p,当点E,F分别在棱A
1
B
1
上运动且满足EF=a时,求p的最小值.
答案
(I)见解析(II)p的最小值等于7/8
解析
本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概念等基础知识,考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分
解法一:
(I) 证明:在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AD∥A
1
D
1
又∵EH∥A
1
D
1
,∴AD∥EH.
∵AD¢平面EFGH
EH
平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
(II) 设BC=b,则长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的体积V=AB·AD·AA
1
=2a
2
b,
几何体EB
1
F-HC
1
G的体积V
1
=(1/2EB
1
·B
1
F)·B
1
C
1
=b/2·EB
1
·B
1
F
∵EB
1
2
+ B
1
F
2
=a
2
∴EB
1
2
+ B
1
F
2
≤ (E
B
1
2
+ B
1
F
2
)/2 = a
2
/ 2,当且仅当EB
1
=B
1
F=
a时等号成立
从而V
1
≤ a
2
b /4 .
故 p=1-V
1
/V ≥
=
解法二:
(I) 同解法一
(II) 设BC=b,则长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的体积V=AB·AD·AA
1
=2a
2
b ,
几何体EB
1
F-HC
1
G的体积
V
1
=(1/2 EB
1
·B
1
F)·B
1
C
1
=b/2 EB
1
·B
1
F
设∠B
1
EF=θ(0°≤θ≤90°),则EB
1
=" a" cosθ,B
1
F ="a" sinθ
故EB
1
·B
1
F = a
2
sinθcosθ=
,当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
从而
∴p=1- V
1
/V≥
=
,当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
所以,p的最小值等于7/8
举一反三
(本小题满分12分)
如图,
与
都是边长为2的正三角形,
平面
平面
,
平面
,
.
(1)求点
到平面
的距离;
(2)求平面
与平面
所成二面角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在长方体
中,
、
分别是棱
,
上的点,
,
(1) 求异面直线
与
所成角的余弦值;
(2) 证明
平面
(3) 求二面角
的正弦值。
题型:不详
难度:
|
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有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围是
A.(0,
)
B.(1,
)
C.(
,
)
D.(0,
)
题型:不详
难度:
|
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设
,
是两条不同的直线,
是一个平面,则下列命题正确的是
A.若
,
,则
B.若
,
,则
C.若
,
,则
D.若
,
,则
题型:不详
难度:
|
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本题满分15分)如图,在矩形
中,点
分别
在线段
上,
.沿直线
将
翻折成
,使平面
.
(Ⅰ)求二面角
的余弦值;
(Ⅱ)点
分别在线段
上,若沿直线
将四
边形
向上翻折,使
与
重合,求线段
的长。
题型:不详
难度:
|
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