解:(Ⅰ)连接A1C.∵A1B1C1-ABC为直三棱柱,∴CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥BC.
∵AC⊥CB,∴BC⊥平面A1C1CA. ∴为与平面A1C1CA所成角,. ∴与平面A1C1CA所成角为. (Ⅱ)分别延长AC,A1D交于G. 过C作CM⊥A1G于M,连结BM, ∵BC⊥平面ACC1A1,∴CM为BM在平面A1C1CA内的射影, ∴BM⊥A1G,∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角, 平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D为C1C的中点, ∴CG=2,DC="1" 在直角三角形CDG中,,. 即二面角B—A1D—A的大小为. (Ⅲ)取线段AC的中点F,则EF⊥平面A1BD. 证明如下: ∵A1B1C1—ABC为直三棱柱,∴B1C1//BC, ∵由(Ⅰ)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA, ∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F,当F为AC的中点时, C1F⊥A1D,∴EF⊥A1D. 同理可证EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD. 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)∵A1B1C1—ABC为直三棱柱,C1C=CB=CA=2, AC⊥CB,D、E分别为C1C、B1C1的中点. 建立如图所示的坐标系得: C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0), C1(0,0,2), B1(2,0,2), A1(0,2,2), D(0,0,1), E(1,0,2). ,设平面A1BD的法向量为, . 平面ACC1A1的法向量为=(1,0,0),. 即二面角B—A1D—A的大小为. (Ⅲ)F为AC上的点,故可设其坐标为(0,,0),∴. 由(Ⅱ)知是平面A1BD的一个法向量, 欲使EF⊥平面A1BD,当且仅当//. ∴,∴当F为AC的中点时,EF⊥平面A1BD. |