(1)证明:四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,BB1//CC1, 又CC1 面ABB1A1, 所以CC1//平面ABB1A1, ABCD是正方形,所以CD//AB, 又CD 面ABB1A1,所以CD//平面ABB1A1, 所以平面CDD1C1//平面ABB1A1, 所以C1D//平面ABB1A1。 (2)ABCD是正方形,AD⊥CD, 因为A1D⊥平面ABCD,所以A1D⊥AD,A1D⊥CD, 如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021032322-62068.jpg) 在△ADA1中,由已知可得A1D= , 所以D(0,0,0),A1(0,0, ),A(1,0,0),C1(-1,1, ) B1(0,1, ),D1(-1,0, ),B(0,1,0)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021032322-28288.gif) 因为A1D⊥平面ABCD, 所以A1D⊥平面A1B1C1D1, A1D⊥B1D1, 又B1D1⊥A1C1, 所以B1D1⊥平面A1C1D1, 所以平面A1C1D1的一个法向量为 =(1,1,0) 设 与 所成的角为β, 则 , 所以直线BD1与平面A1C1D1所成角的正弦值为 。 (3)设平面A1C1A的法向量为 , 则 ,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021032323-61850.gif) 令c= ,可得=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021032323-21067.gif) 设二面角D—A1C1—A的大小为α, 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021032324-51090.gif) |