(Ⅰ)证明:设的中点为. 在斜三棱柱中,点在底面上的射影恰好是的中点, 平面ABC. ……………………1分 平面, . ……………………2分 , ∴. , ∴平面. ……………………3分 平面, 平面平面. ………………4分 解法一:(Ⅱ)连接,平面, 是直线在平面上的射影. ………………5分 ,四边形是菱形. . . ……………6分 (Ⅲ)过点作交于点,连接 , 平面. . 是二面角的平面角. …………9分 设,则, . . . . 平面,平面,.. 在中,可求.∵,∴. ∴. . ……………………………………10分 . ∴二面角的大小为. ………………12分 解法二:(Ⅱ)因为点在底面上的射影是的中点,设的中点为,则平面ABC.以为原点,过平行于的直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设,由题意可知,.设,由,得 . 又. . . ……………………6分 (Ⅲ)设平面的法向量为. 则 ∴ . 设平面的法向量为.则 ∴ . . ……………………10分 二面角的大小为. ………………………………12分 |