(1)证明:由四边形 为菱形, ,知 为正三角形 ∵ 为 的中点∴ ,又 ∴ …………………………1分 ∵ 平面 , 平面 ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034053-63002.gif) 而![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034053-29623.gif) 平面 , 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034054-37842.gif) ,且 , ∴ 平面 ,又 平面 ,∴ …………………………3分 (2)设 ,连结 由(1)知 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034053-50585.gif) ,而 ,∴ , 则 为 与平面 所成的角。………………………………………………4分 在 中, ,当 最小时,即当![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034055-84490.gif) 时, 最大,此时
因此 , 又 ∴ ∴ …………………………………………………5分 方法一: 平面 , 平面 , ∴平面 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034051-68051.gif) 过 作 于 ,则 平面 ,过 作 于 ,连结 ,则 为二面角 的平面角。…………………………………………………… 6分 在 中,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034059-39897.gif)
又 为的中点,∴ 在 中, , 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034100-80702.gif) 在 中, 即所求二面角的余弦值为 ……………………………………………………………7分 方法二: 由(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034101-93910.jpg) ∴ ………………………………………………………7分 设平面 的一个法向量为 , 则 ,因 此![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034102-82985.gif) 取 ,则 ……………………………………………………………8分 ∵ , 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034103-44532.gif) 故 为平面的法向量。……………………………………………………6分 ∴ 二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为 …………………………………………7分 (3)方法一:由(2)得:在 中 , ,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034104-81763.gif) 在 中, ,∴ 中, , 又 ,∴ ………………………………………………………………8分 又 ,点 到平面 的距离 ,…………………9分 设点 到平面 的距离为 , ∵ ,∴ , ∴ ………………………………………………………………10分 方法二:由(2)解法2知,平面 的一个法向量为 ……………………8分 又∵ ∴点 到平面 的距离为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021034107-95294.gif) …………………………………10分 其余方法请酌情给分!! |