分析:本题如利用“几何法”,则通过“平移变换”将异面直线角化归为三角形的内角,由解三角形的方法求之,凡“点面距离”可利用等积法求之,至于二面角,则通过“作-证-算”三步曲求得;本题如利用“向量法”,则建立适当的空间直角坐标系,写出各点坐标,再根据公式而求之。 方法一:(1)过点G作GE∥CD交AD的延长线于点E,连PE,则∠PGE是异面直线PG与CD所成的角,,则由条件得GE=2a,PG=3a,
cos ∠PGE=,所以异面直线PG与CD所成角等于; (2)设h,则利用等积法知,在△PBG中,PB=,PG=3a,BG=,,得,又在△CBG中,,从而由得; (3)作CF⊥AC交PG于F,作FH⊥BG交BG于H,连CH,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC,所以PA∥CG,得CG⊥平面ABCD,由三垂线定理得∠FHC是二面角P-BG-C的平面角,设,则由△CGF∽△AGP得, 在△CBG中,得 所以,从而
,所以二面角P-BG-C的取值范围是。 方法二:建立如图所示的直角坐标系,
则A(0,0,O、0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a)。 由条件得G(2 a ,2 a ,0), , 所以, 所以异面直线PG与CD所成角等于; (2)设平面PBG的法向量为因, 所以由得,即又, 所以点C到平面PBG的距离为; 由条件设G(t,t,0), 其中,平面PBG的法向量为 因,,所以由得, 即而平面CBG的法向量, 所以,因为,所以, 易知二面角P-BG-C的平面角是锐角,所以二面角P-BG-C的平面角等于,所以二面角PP-BG-C的取值范围是。 点评:本题主要考查异面直线所成角的空间想象能力,利用体积法求点面距离的运算能力,二面角的估算能力,第(3)问有机的将函数的值域与立体几何结合,较好地考查学生综合分析与解决问题的能力. |