(1)证明:由正四棱柱性质知A1B1⊥平面BCC1B1,A1A⊥平面ABCD, 所以B1C、AC分别是A1C在平面CC1B1B、平面ABCD上的射影 ∵ B1C⊥BE, AC⊥BD, ∴A1C⊥BE , A1C⊥BD, (2分) ∴ A1C⊥平面BDE (4分)。 (直接指出根据三垂线定理得“A1C⊥BE , A1C⊥BD”而推出结论的不扣分) (2)解:以DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴,建立坐标系,则,,,∴, (6分) ∴ (7分) 设A1C平面BDE=K, 由(1)可知,∠A1BK为A1B与平面BDE所成角,(8分) ∴ (9分) (3)证明:设点F的坐标为(0, 2, z)(0<z≤4), 则, 又|DB|=,故△DBF是等腰三角形,要证明它为锐角三角形,只需证明其顶角∠DFB为锐角则可。 (11分) 由余弦定理得cos∠DFB= ∴∠DFB为锐角, (13分) 即不论点F为CC1上C点除外的任意一点, △DFB总是锐角三角形.(14分) 说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全”情况应扣2分) |