如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,(1)求证:A1C

如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,(1)求证:A1C

题型:不详难度:来源:
如图,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点BB1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F
(1)求证:A1C⊥平面BDE
(2)求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
(3)设F是CC1上的动点(不包括端点C),求证:△DBF是锐角三角形。
答案
(1)见解析
(2)
(3)见解析
解析

(1)证明:由正四棱柱性质知A1B1⊥平面BCC1B1,A1A⊥平面ABCD,
所以B1C、AC分别是A1C在平面CC1B1B、平面ABCD上的射影
∵ B1C⊥BE, AC⊥BD, ∴A1CBE , A1CBD,   (2分)
A1C⊥平面BDE    (4分)。 (直接指出根据三垂线定理得“A1CBE , A1CBD”而推出结论的不扣分)
(2)解:以DADCDD1所在直线分别为xyz轴,建立坐标系,则,∴  (6分)
            (7分)
A1C平面BDEK
由(1)可知,∠A1BKA1B与平面BDE所成角,(8分)
      (9分)
(3)证明:设点F的坐标为(0, 2, z)(0<z≤4), 则
又|DB|=,故△DBF是等腰三角形,要证明它为锐角三角形,只需证明其顶角∠DFB为锐角则可。               (11分)
由余弦定理得cos∠DFB=
∴∠DFB为锐角,             (13分)
即不论点F为CC1上C点除外的任意一点, △DFB总是锐角三角形.(14分)
说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全”情况应扣2分)
举一反三
如图,在几何体中,面为矩形,
(1)求证;当时,平面PBD⊥平面PAC;
(2)当时,求二面角的取值范围。
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在五棱锥P-ABCDE中,PA=AB=AE=4a,PB=PE=a,BC=DE=2a,∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°.(1)若中点,求证:平面.
(2)求二面角A-PD-E的正弦值;(3)求点C到平面PDE的距离.
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矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB,且平面ABCD平面ABEF,如图所示,FD, AD=1, EF=

(Ⅰ)证明:AE 平面FCB;
(Ⅱ)求异面直线BD与AE所成角的余弦值
(Ⅲ)若M是棱AB的中点,在线段FD上是否存在一点N,使得MN∥平面FCB?
证明你的结论.

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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点。
(1)求异面直线AE与A1C所成的角;
(2)若G为C1C上一点,且EG⊥A1C,试确定点G的位置;
(3)在(2)的条件下,求二面角A1-AG-E的大小(文科求其正切值)。
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在直三棱柱中,ACB=90°, 的中点,的中点。
(1)求证:MN∥平面 ;
(2)求点到平面BMC的距离;
(3)求二面角­1的大小。
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