如图所示, 在三棱柱中, 底面，.（1）若点分别为棱的中点，求证：平面；(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱

题型：不详难度：来源：

如图所示, 在三棱柱中, 底面，.

（1）若点分别为棱的中点，求证：平面；
(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法，并写出拼接后的长方体的表面积（不必写出计算过程）.

答案

（Ⅰ）   （Ⅱ）拼接成的长方体的表面积为16或.

解析

连结，底面，平面，
∴.   ，分别为棱的中点，
∴.，
∴Rt△ Rt△.∴.
,∴.
∴.  ∴
，∴平面.
∴.  ，∴平面.                                      
平面，∴. 同理可证.                                     
，∴平面.                                        
（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以的中点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为长方形如图①所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16. 


图甲                           图①
切割拼接方法二：如图乙所示，设的中点分别为，以四点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为正方形），此时所拼接成的长方体的表面积为.