如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB，PB的中点.（I）求证：EF⊥CD；（II）求DB与平面D

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB，PB的中点.

（I）求证：EF⊥CD；
（II）求DB与平面DEF所成角的正弦值；
（III）在平面PAD内是否存在一点G，使G在平面PCB上的射影为△PCB的外心，若存在，试确定点G的位置；若不存在，说明理由.

答案

（2）  （3）中点

解析

以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）.

、
设AD=a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），
P（0，0，a），F（，，）.
  （I）

（II）设平面DEF的法向量为
得
取x=1，则y=－2，z=1.


设DB与平面DEF所成角为
（III）假设存在点G满足题意
因为

∴存在点G，其坐标为（，0，0），即G点为AD的中点