如图所示,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证:(1
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如图所示,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证:(1
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,已知直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,△ABC为等腰直角三角形,
∠BAC=90°,且AB=AA
1
,D、E、F分别为B
1
A、C
1
C、BC的中点.
求证:
(1)DE∥平面ABC;
(2)B
1
F⊥平面AEF.
答案
证明略
解析
方法一 如图建立空间直角坐标系A—xyz,
令AB=AA
1
=4,
则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B
1
(4,0,4).
(1)取AB中点为N,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2), 3分
∴
=(-2,4,0),
=(-2,4,0),
∴
=
, 4分
∴DE∥NC,又NC
平面ABC,DE
平面ABC.
故DE∥平面ABC. 6分
(2)
=(-2,2,-4),
=(2,-2,-2),
=(2,2,0).
·
=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,
则
⊥
,∴B
1
F⊥EF, 10分
∵
·
=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.
∴
⊥
,即B
1
F⊥AF, 12分
又∵AF∩FE=F,∴B
1
F⊥平面AEF. 14分
方法二 (1)连接A
1
B、A
1
E,并延长A
1
E交AC的延长线于点P,连接BP.由E为C
1
C的中点且A
1
C
1
∥CP,可证A
1
E=EP.
∵D、E分别是A
1
B、A
1
P的中点,
所以DE∥BP. 4分
又∵BP
平面ABC,
DE
平面ABC,
∴DE∥平面ABC. 6分
(2)∵△ABC为等腰三角形,F为BC的中点,
∴BC⊥AF, 8分
又∵B
1
B⊥AF,B
1
B∩BC=B,∴AF⊥平面B
1
BF,
而B
1
F
平面B
1
BF,
∴AF⊥B
1
F. 10分
设AB=A
1
A=a,
则B
1
F
2
=
a
2
,EF
2
=
a
2
,
B
1
E
2
=
a
2
,
∴B
1
F
2
+EF
2
=B
1
E
2
,B
1
F⊥FE. 12分
又AF∩FE=F,综上知B
1
F⊥平面AEF. 14分
举一反三
、如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折成一个无盖的正六棱柱容器,当容器底边长为
时,容积最大。
题型:不详
难度:
|
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定线段AB所在的直线与定平面
相交,P为直线AB外的一点,且P不在
内,若直线AP、BP与
分别交于C、D点,求证:不论P在什么位置,直线CD必过一定点.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别为CC
1
、AA
1
的中点,画出平面BED
1
F 与平面ABCD的交线.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的长;
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A
1
B
1
C
1
,
∠BAC=90°,A
1
A⊥平面ABC,A
1
A=
,AB=
,AC=2,A
1
C
1
=1,
=
.
(1)证明:平面A
1
AD⊥平面BCC
1
B
1
;
(2)求二面角A—CC
1
—B的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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