:(1)∵正三棱柱中,, ∴将侧面展开后,得到一个由三个正方形拼接而成的矩形(如图), 从而,折线的长最短,当且仅当、、、四点共线, ∴、分别是、上的三等分点,其中.……2分(注:直接正确指出点、的位置,不扣分) 连结,取中点,中点,连结、、. 由正三棱柱的性质,平面平面, 而,平面, 平面平面,∴平面.…4分 又由(1)知,, ∴四边形是平行四边形,从而. ∴平面.而平面,∴平面平面.8分 (2)(法一)由(2),同理可证,平面平面.………10分 而平面,平面平面, ∴即为在平面上的射影, 从而是直线与平面所成的角.……12分 在△中,,, ,由余弦定理, , 即直线与平面所成角的余弦值为.…14分 (法二)取中点为原点,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由(1)及正三棱柱的性质,可求得: ,,,. 从而, ,.…………………10分 设平面的一个法向量为, 则,所以, 即,解之,得,………………………12分 取,得,,∴从而
即直线与平面所成角的正弦值为, ∴直线与平面所成角的余弦值为.…………14分 |