将边长为2,一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD,点E,F分别为AC,BD的中点,则下列命题中正确的是______.①EF∥AB;②
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将边长为2,一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD,点E,F分别为AC,BD的中点,则下列命题中正确的是______.①EF∥AB;②
题型:不详
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将边长为2,一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD,点E,F分别为AC,BD的中点,则下列命题中正确的是______.
①EF
∥
AB;②EF⊥BD;③EF有最大值,无最小值;④当四面体ABCD的体积最大时,
AC=
6
; ⑤AC垂直于截面BDE.
答案
如图:由题意得,EF与AB是异面直线,故①不正确.
由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD,AF⊥BD,DB⊥面ACF,又EF?面ACF,
∴EF⊥BD,故②正确.
EF是等腰三角形FAC的底边上的中线,∴EF⊥AC,由于 FA=FC=
3
,斜边AC的长度不定,
故 EF无最大值,也无最小值,故③不正确.
当四面体ABCD的体积最大时,因为等边△ABD的面积为定值,故面SBD⊥面ABD,CF为四面体的高,AC=
CF
2
+
FA
2
=
3+3
=
6
,故④正确.
由DB⊥面ACF 得,DB⊥AC,又EF⊥AC,∴AC⊥面EBD,故⑤正确.
综上,②④⑤正确,
故答案为 ②④⑤.
举一反三
下面是关于三棱锥的四个命题:
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
其中,真命题的编号是______.(写出所有真命题的编号)
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2
,那么这个棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行底面的截面)的面积是( )
A.4cm
2
B.
2
2
c
m
2
C.2cm
2
D.
2
c
m
2
题型:不详
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B.直角梯形
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2
.
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