已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a，侧面积为S，求棱台上底面的边长．

题型：同步题难度：来源：

已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a，侧面积为S，求棱台上底面的边长．

答案

解：设O，O₁分别为下，上底面中心，连接OO₁，
则OO₁⊥平面ABC，
上底面边长为x，连接AO，A₁O₁并延长交BC，B₁C₁分别于D、D₁两点，
则AD⊥BC，
连接DD₁，则DD₁⊥BC，
∠ADD₁为二面角A-BC-D₁的平面角，即∠ADD₁=60°，
过D₁作D₁E∥OO₁交AD于E，则D₁E⊥平面ABC，
在正△ABC，△A₁B₁C₁中，AD=，A₁D₁=，
在Rt△D₁ED中，ED=OD-OE=（AD-A₁D₁）=（a-x），
则D₁D=2ED=（a-x），
由题意S=3·，即S=（a²-x²），
解得：x=。