已知直三棱柱的三视图如图所示,且是的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)试问线段上是否存在点,使与成 角?若存在,确定点位置,若不存在,说明

已知直三棱柱的三视图如图所示,且是的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)试问线段上是否存在点,使与成 角?若存在,确定点位置,若不存在,说明

题型:不详难度:来源:
已知直三棱柱的三视图如图所示,且的中点.

(Ⅰ)求证:∥平面
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)试问线段上是否存在点,使 角?若存在,确定点位置,若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)二面角的余弦值为;(Ⅲ)当点为线段中点时,角.
解析

试题分析:(Ⅰ)为了证明∥平面,需要在平面内找一条与平行的直线,而要找这条直线一般通过作过且与平面相交的平面来找.在本题中联系到中点,故连结,这样便得一平面,接下来只需证与交线平行即可.对(Ⅱ)(Ⅲ)两个小题,由于是直三棱柱,且,故两两垂直,所以可以以为坐标轴建立空间直角坐标系来解决.
试题解析:(Ⅰ)证明:根据三视图知:三棱柱是直三棱柱,连结,交于点,连结.由 是直三棱柱,得 四边形为矩形,的中点.又中点,所以中位线,所以 , 因为 平面平面, 所以 ∥平面.                            4分
(Ⅱ)解:由是直三棱柱,且,故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.

,则.
所以
设平面的法向量为,则有
所以  
,得.       6分
易知平面的法向量为.                  7分
由二面角是锐角,得 .   8分
所以二面角的余弦值为.
(Ⅲ)解:假设存在满足条件的点.
因为在线段上,,故可设,其中.
所以 .          9分
因为角,所以.         10分
,解得,舍去.      11分
所以当点为线段中点时,角.        12分
举一反三
如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是      .
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如左图所示,则相应的侧视图可以为(  )


题型:不详难度:| 查看答案
一个几何体的三视图如下图所示(单位:),

(1)该几何体是由那些简单几何体组成的;
(2)求该几何体的表面积和体积.
题型:不详难度:| 查看答案
已知某个几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是         .

题型:不详难度:| 查看答案
若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的体积是        .

题型:不详难度:| 查看答案
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