试题分析:(Ⅰ)为了证明 ∥平面 ,需要在平面 内找一条与 平行的直线,而要找这条直线一般通过作过 且与平面 相交的平面来找.在本题中联系到 为 中点,故连结 ,这样便得一平面 ,接下来只需证 与交线平行即可.对(Ⅱ)(Ⅲ)两个小题,由于 是直三棱柱,且 ,故 两两垂直,所以可以以 为坐标轴建立空间直角坐标系来解决. 试题解析:(Ⅰ)证明:根据三视图知:三棱柱 是直三棱柱, , 连结 ,交 于点 ,连结 .由 是直三棱柱,得 四边形 为矩形, 为 的中点.又 为 中点,所以 为 中位线,所以 ∥ , 因为 平面 , 平面 , 所以 ∥平面 . 4分 (Ⅱ)解:由 是直三棱柱,且 ,故 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系 .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021071314-49309.jpg)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021071314-41830.png) ,则 . 所以 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021071315-89944.png) 设平面 的法向量为 ,则有![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021071316-70352.png) 所以 取 ,得 . 6分 易知平面 的法向量为 . 7分 由二面角 是锐角,得 . 8分 所以二面角 的余弦值为 . (Ⅲ)解:假设存在满足条件的点 . 因为 在线段 上, , ,故可设 ,其中 . 所以 , . 9分 因为 与 成 角,所以 . 10分 即 ,解得 ,舍去 . 11分 所以当点 为线段 中点时, 与 成 角. 12分 |