已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点．(Ⅰ)求证：直线平面；(Ⅱ）求点到平面的距离．

题型：不详难度：来源：

已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点．

(Ⅰ)求证：直线平面；
(Ⅱ）求点到平面的距离．

答案

（Ⅰ）取的中点为，连接，
推出，，且，
利用四边形为平行四边形，得到，
所以直线平面.
(Ⅱ）点到平面的距离为．

解析

试题分析：（Ⅰ）取的中点为，连接，

因为为的中点，为中点，
所以，，且，
所以四边形为平行四边形， 所以，
又因为,
所以直线平面.
(Ⅱ）由已知得，所以,
因为底面三角形为正三角形，为中点，
所以, 所以，
由（Ⅰ）知，所以，
因为，所以,,
设点到平面的距离为，由等体积法得 ，
所以，得，
即点到平面的距离为．
点评：中档题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系，角、距离、面积、体积等的计算，是常见题型，基本思路是将空间问题转化成为平面问题，利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作，二证，三计算”。本题计算距离时，应用了“等体积法”，在几何体不十分规则时，经常用到。