本试题主要是考查了线面角和线线垂直的证明,以及二面角的平面角的求解的综合运用。 (1)先建立空间直角坐标系,然后表示平面的法向量以及直线的斜向量,利用向量的夹角公式得到线面角的求解。 (2)假设存在点使得满足题意,然后利用垂直关系解得点的坐标,进而分析得到结论。 (3)在前面的基础上,进一步得到两个半平面的法向量的求解,结合法向量的夹角公式得到二面角的平面角的大小的运算。 解:如图,以B为原点建立空间直角坐标系,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082821-56306.png) 则 , , ···················· 1分 (Ⅰ)直三棱柱 中,平面 的法向量 ,又 , 设 , 则 ·············· 3分
即直线 与底面 所成角正切值为2. ·········· 4分 (Ⅱ)设 ,则 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082824-15815.png)
,∴
,即 ·················· 8分 Ⅲ)∵ ,则 , 设平面 的法向量![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082825-73958.png) , 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082826-97575.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082826-42424.png) ,取![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082827-75014.png) ··········· 10分 ∵ , ∴ , 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082828-14830.png) ····················· 11分 ∴平面 的法向量 ,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082829-96546.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021082829-47230.png) ∴二面角 的大小为45° 13分 |