如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.(1)求证:平面PBC⊥面PDC(2)设E为PC上一点,

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.(1)求证:平面PBC⊥面PDC(2)设E为PC上一点,

题型:不详难度:来源:
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.
(1)求证:平面PBC⊥面PDC
(2)设E为PC上一点,若二面角B-EA-P的余弦值为-,求三棱锥E-PAB的体积.

答案
(1)见解析
(2)
解析
(1)∵AB=1,PA=2,∠PAB=60°,∴在△PAB中,由余弦定理得
PB2=PA2+AB2-2AB·PAcos600=4+1-2×1×2×=3
∴PA2=PB2+AB2,即AB⊥PB
∵DA⊥面ABP,CB∥DA
∴CB⊥面ABPCB⊥AB ,∴AB⊥面PBC
又DC∥AB,∴DC∥面PBC
∵DC面PDC,∴平面PBC⊥面PDC
(2)如图建立空间直角坐标系

则A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1)
设E(x,y,z),= (0<<1)
则(-,0,1)=(x-,y,z)x=(1-),y=0,z=
设面ABE的法向量为n=(a,b,c),则
令c=n=(,0,)
同理可求平面PAE的法向量为m=(1,,)
∵cos<n,m>====
==1(舍去)
∴E(,0,)为PC的中点,其竖坐标即为点E到底面PAB的距离
∴VE-PAB=××1××=
举一反三
已知正△ABC的边长为, CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图所示.                    
(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(2)若棱锥E-DFC的体积为,求的值;
(3)在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.

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三棱锥的四个顶点都在球面上,SA是球的直径,,则该球的表面积为(    )
A.B.C.D.

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在斜三棱柱中,平面平面ABC,.
(1)求证:
(2)若,求三棱锥的体积.

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如图,在三棱锥中,°,平面平面分别为中点.
(1)求证:∥平面
(2)求证:
(3)求三棱锥的体积.
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如图,已知平面平面,且四边形为矩形,四边形为直角梯形,
,,,,.
(1)作出这个几何体的三视图(不要求写作法).
(2)设是直线上的动点,判断并证明直线与直线的位置关系.
(3) 求三棱锥的体积..

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