试题分析:(1)由于三棱锥的侧棱长都相等,可以得到点在平面内的射影点为的外心,而由于的三条底边满足勾股定理,可知为直角三角形的斜边,从而可以知道的中点即为直角三角形的外心,然后利用勾股定理求出,并且计算出直角三角形的面积,最后利用锥体的体积公式计算此三棱锥的体积;(2)解法一是在(1)中的基础上,利用平面,得到平面平面,然后在平面内作于点,利用平面与平面垂直的性质定理得到平面,从而得到,再从点在平面内作于点,并连接,利用三垂线法得到为二面角的平面角,最后在直角三角形中计算的大小;解法二是以为原点,以为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求二面角 的平面角的大小. 试题解析:(1)取的中点,连接, 易得:,, , . . 又 平面,
(2)法一:作⊥,⊥于点,连接 平面,平面,
又 平面. ∵, ∴ 又 平面, ∵,∴, ∴为二面角的平面角. ∵,, 由(Ⅰ)知,. ∴, ∴,∴, 法二:以为原点,以为轴建系,则,, 设为平面的法向量,则有 , ∴ 又∵为平面的法向量, ∴,二面角的平面角为. |