三棱锥的三组相对的棱分别相等，且长度各为，其中，则该三棱锥体积的最大值为A．B．C．D．

题型：不详难度：来源：

三棱锥的三组相对的棱分别相等，且长度各为，其中，则该三棱锥体积的最大值为

A．

B．

C．

D．

答案

D

解析

试题分析：三棱锥扩展为长方体，三棱锥的体积转化为长方体的体积与四个三棱锥的体积的差，推出B不正确，则C不正确，通过特殊图形说明D正确
解：如图设长方体的三度为，a，b，c；所以所求三棱锥的体积为：abc-4××abc=abc． a²+b²=2，b²+c²=n²，a²+c²=m²，所以2（a²+b²+c²）=n²+m²+2=8． a²+b²+c²=4．因为4≥3
，abc≤此时a=b=c，与n²+m²=6，a²+b²=2，矛盾，所以选项B不正确；则C不正确；当底面三角形是等腰三角形时，m=n=

不难求出三棱锥体积的最大值为,选D．
点评：本题考查几何体的体积的求法，扩展为长方体是解题的关键，考查基本不等式的应用，转化思想与计算能力．